チェバの定理とメネラウスの定理は双子の定理


三角形ABCの頂点A、B、Cと、三角形の内部または外部にある点Oを結ぶ直線が、それぞれ対辺BC、CA、ABまたはその延長線と交わる点をP、Q、Rとする

図1

チェバの定理

上図において、チェバの定理:

図2

メネラウスの定理

上図において、メネラウスの定理:

非常によく似た二つの定理です。ともに一筆書きの要領で公式ができています。公式の表現も本によってまちまちですが、私はあえて同じ三角形でAから反時計回りで、チェバの定理はBCを通過し、メネラウスの定理はBQを通過する一筆書きとしてとらえました。
証明は、面積比を用いたり、補助線を引くことにより各辺の比を1辺上に移してする方法などいろいろありますが、せっかく双子のような定理なので、似た方法でやってみましょう。

図1、図2を上のような色分けの三角形を考えて、線分比と面積比の関係を用います。

チェバの定理の証明
=1


メネラウスの定理の証明
=1


利用範囲はチェバの定理は中学の平面幾何で、メネラウスの定理は高校の平面幾何はもちろん座標平面にまで及びます。構造的にも、比の取り方においてもチェバの定理よりメネラウスの定理が複雑です。どうもチェバの定理の発展したものがメネラウスの定理に思えてきますが、実はチェバは1650年頃の人、メネラウスは100年頃の人で、チェバの定理よりもメネラウスの定理のほうが1500年も前に考えられていたことになります。

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