折り紙で図形の学習

クイズの本（注１）を読んでいたとき、正方形の折り紙を使って１５度を作れという問題があった.。１５度といえば９０度の６分の１、３０度を２等分すると考えても９０度を３等分しなければならない。一般的には角の３等分は作図できないが、正三角形を作れば６０度はできるので折り紙で正三角形を作ればよい。しかし、これに意外と時間がかかった。作図ならばコンパスを用いて一辺の両端からその長さを等しくとることは難しくないが、折り紙では円弧を書くことができないので他の方法を考えなければいけない。そこで正三角形は左右対称な図形なので、頂点は対辺の垂直二等分線上にあり、対辺の端からの距離がー辺の長さとなればよいだろうと考えた。。垂直二等分線は、折り紙ではたやすく作ることができる。そこで厳密さに欠けるところはあるが、右図のようにすれば正三角形を作ることができる。 　
そして１５度は、この過程でできており、１５度を作るというならば次のように二折りすればよいということになる。
　　（１）　正方形の一辺の垂直二等分線を折る。
　　（２）　正方形の一つの頂点を（１）の線上に合わせて折る。


（注）「面白くてやめられない数学パズルパワーアップ編」
　　　　　　沖田　浩著　　　中経出版
　　　数学が専門ではない著者による本で、題材が身近で面白い。
　　　解説も中・高校レベルの数学を使っていて明瞭である。


折り紙は、手軽であるという点で授業などで使いやすいと思う。これは決してコンパス、定規の作図に代わるということではなく、教室で紙がないということはまずあり得ないので、ちょっとした気分転換にいいのではないかということである。垂直二等分線や、角の二等分線、二点を結ぶ線などは簡単に折ることができるので、三角形の五心なども紙の上に三角形を書いて求めることはすぐにできるし、ちょっとした折り方でおもしろい図形を作ることができる。生徒の興味を引いておいてその理由を図形の性質をもちいて行うのは、教科書の問題ばっかり解いている授業より楽しいのではないかと思う。


そこで実際に使ってみたらおもしろいのではないかという題材を二つ。

折り紙で面積五分の一の正方形を作る。

これも最初にでてきたパズルの本に載っていた問題
　右の図を見てもらえば一目瞭然なのだが、説明はいろいろな方法がありそうである。
・四角形ＩＪＫＬが正方形であること
　　　単純に対称性より明らかでもいいと思うが（９０度回転すれば重なる）、
　　　三角形の合同などを使って説明できる。
・面積が五分の一であること
　＊長さを用いる場合
　　　正方形の一辺を２とするとＤＥがである。
　　　ＤＬ＝ＬＩ＝ＢＪで、ＥＩはＢＪの２分の１であるから、ＬＩはＤＥの５分の２となる。
　　　したがってＬＩはとなり、正方形ＩＪＫＬの面積は、元の正方形は一辺２より
　　　面積は４なので確かに面積は五分の一
　＊三角形の面積と比べる場合
　　　正方形ＩＪＫＬの面積と、三角形ＡＢＪの面積は等しい。また三角形ＡＢＪ、三角形ＢＪＫ、
三角形ＣＤＬ、三角形ＤＡＩは皆合同なので面積は等しい。
　　　したがって面積は五分の一		 　



Ａ判、又はＢ判の紙を三等分する。

これは、実教出版がくれた数学資料にでていたのでご存じの方も多いのではないか思う。（筑波大学の芳賀和夫氏の「コピー用紙でオリガミクス」という記事の中の題材）
折る回数は、３回。最初の２回で三等分点Ｇをみつけ、３回目に三等分線を折るのだが、Ａ、Ｂ判の紙は縦、横の比が１：であることを用いている。
　　　（１）　紙を横長に置き、横の線の中点を求める。（紙を縦に折る。）
　　　（２）　二等分点と長方形の一つの頂点を結ぶ線で紙を折る。
　　　　　　　このとき折り込まれた頂点の位置が三等分点Ｇとなっている。
　　　（３）　この三等分点を通る、縦の線に平行な線で折る。
実際にやってみていただければわかるが、実に簡単にできる。
そして（２）で見つけた点Ｇは、横にだけでなく縦の三等分点でもある。

 　
この説明に芳賀氏は点の座標を示していられたが、点Ｇの位置が対角線で切られた三角形の重心と一致していることを示した方が明解であるように思う。

説明
三角形ＢＣＤと三角形ＣＤＩは、ＢＣ：ＣＤ＝ＣＤ：ＤＥ＝：１より２組の辺の比と間の角が等しいので相似、したがって角ＤＢＣ＝角ＥＣＤより角ＣＩＤは直角
点Ｉは三角形ＣＡＤの重心なのでＤＩの距離はＢＤの三分の一、したがってＣＥで折り返したとき点ＤはＢＤ上で点ＩよりＢＤの三分の一の距離にある点に一致し、これは三角形ＡＢＣの重心Ｇとなっている。
点Ｇが三角形ＡＢＣの重心ならばＡＧ：ＧＦ＝２：１となり、この長方形の縦、横の三等分点となる。
この折り方は、あくまでＡ５判、Ｂ４判等の規格の紙での折り方である。
一般の長方形で三等分点を見つけたいならば”対角線で切られた三角形の重心を見つければよい”と考えると右図１のように３回の折り方で見つけることができる。
（三等分点Ａ）




 　
図１

ついでに５等分点を見つけたいならば右図２のようにすればよい。
（五等分点Ｂ）
理屈はわかっていても、いざ紙を折るときにはなかなか思いつかないものである。
図２


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