片手でいくつまで数えられるか。

生徒が休み時間にゲームをしていました。
指を立て、「これは３，これは１９，じゃこれは？」（下図）

これは３	これは１９	じゃこれは？

一時期こんなゲームが流行っていたことがありました。
いくつかの例から規則性を見つけ答えを当てるわけですが、このとき何気なく見ていたら気付きました。
（もちろん上の３つだけでわかったわけではないのですが）
「ああ、二進法だな。」
生徒の中でなかなか正解が出ないようだったので、得意げに私は近づき、
「それは、２２だ。」
と当ててしまいました。

みなさんはおわかりでしょうか。

このとき出題者の例をいくつも見ているうちに立てた指に決まった数が対応しているのに気付いたのです。 （たとえば上の例で、小指を立てたら１６増える。すなわち小指は１６を表す。） あとは他の指がどの数に対応しているかに気をつけてみていれば良く、最終的に右図のように指に数が対応していることがわかりました。 したがって上の「じゃこれは？」は、２＋４＋１６より２２となります。 立てた指が他の数に対応していたのではそれだけのことなのですが、１，２，４，８，１６に対応し２進法になっているというのは大変面白いと思いました。誰が最初に考えたのでしょうか。

我々は指を使って数を数えるとき、立てた指の本数に数を対応させ、どの指が立っているかなどは気にしません。
そのため片手で数えられる数は５，又は１０です。（１０のときははじめは指を折り、５まで数えた後は指を立てていく。）
しかし上のように立てた指に数を対応させると２進法になっているため、０から３１までのそれぞれの数を１通りの指の立て方で表すことができるわけです。数によっては、指を立てるのに苦労することもありますが、片手で３１まで数えられるなんて面白くありませんか。
さらに両手を用いて３２，６４，１２８，２５６，５１２を指に対応させれば、両手で１０２３まで数えられることになります。

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